Кинетическая энергия.
Неотъемлемым свойством материи является движение. Различные формы движения материи способны к взаимным превращениям, которые, как установлено, происходят в строго определенных количественных соотношениях. Единой мерой различных форм движения и типов взаимодействия материальных объектов и является энергия.
Энергия зависит от параметров состояния системы, ᴛ.ᴇ. таких физических величин, которые характеризуют некоторые существенные свойства системы. Энергию, зависящую от двух векторных параметров, характеризующих механическое состояние системы, а именно, радиус-вектора , определяющего положение одного тела относительно другого, и скорости , определяющей быстроту перемещения тела в пространстве, называют механической.
В классической механике представляется возможным разбить механическую энергию на два слагаемых, каждое из которых зависит только от одного параметра:
где - потенциальная энергия, зависящая от относительного расположения взаимодействующих тел; - кинетическая энергия, зависящая от скорости движения тела в пространстве.
Механическая энергия макроскопических тел может изменяться только за счет работы.
Найдем выражение для кинетической энергии поступательного движения механической системы. Стоит сказать, что для начала рассмотрим материальную точку массой m . Допустим, что ее скорость в некоторый момент времени t равна . Определим работу результирующей силы , действующей на материальную точку в течение некоторого времени:
Учитывая, что на основе определения скалярного произведения
где - начальная, а - конечная скорость точки.
Величина
принято называть кинетической энергией материальной точки.
С помощью этого понятия соотношение (4.12) запишется в виде
Из (4.14) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа͵ и следовательно, измеряется в тех же единицах.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, работа результирующей всех сил, действующих на материальную точку, равна приращению кинетической энергии этой точки. Отметим, что приращение кинетической энергии может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака, совершенной работы (сила может либо ускорять, либо тормозить движение тела). Данное утверждение принято называть теоремой о кинетической энергии.
Полученный результат без труда обобщается на случай поступательного движения произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы принято называть сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит. В результате сложения соотношений (4.13) для каждой материальной точки системы, снова получится формула (4.13), но уже для системы материальных точек:
где m – масса всей системы.
Отметим, что имеется существенное отличие теоремы о кинетической энергии (закона об изменении кинетической энергии) и закона об изменении импульса системы. Как известно, приращение импульса системы определяется только внешними силами. Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют импульс системы. Не так обстоит дело в случае кинетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. К примеру, при движении двух материальных точек, взаимодействующих между собой силами притяжения, каждая из сил совершит положительную работу, и будет положительной приращение кинетической энергии всей системы. Следовательно, приращение кинетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил.
Криволинейным интегралом 2-го рода, вычисление которого, как правило, проще, чем вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Мощностью силыf называется работа силы в единицу времени. Так как за бесконечно малое время dt сила совершает работу dA = fsds = fdr, то мощность...
Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.
Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.
Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:
1. Поступательное движение
Скорости всех точек системы равны скорости центра масс . Тогда
Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное движение (рис. 77)
Скорость любой точки тела: . Тогда
или используя формулу (15.3.1):
Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение
При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений
Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.
Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.
1. Работа сил тяжести
. Пусть , координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса будет 
. Тогда полная работа:
где Р - вес системы материальных точек, - вертикальное перемещение центра тяжести С.
2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу .
Согласно соотношению (14.3.1) можно записать , но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде 
- бесконечно малый угол поворота тела. Тогда
Величина 
называется вращающим моментом.
Формулу (19.1.6) перепишем как
Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот .
При повороте на конечный угол имеем:
Если вращательный момент постоянен , то
а мощность определим из соотношения (14.3.5)
как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.
Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы
Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:
или, согласно (19.1.1):
что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Проинтегрировав (19.2.2) получаем:
Теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и
Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:
В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть
Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:
Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое
П = А (мо) (19.3.1)
Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат
П = П(х,у,z) (19.3.2)
Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.
Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией . Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а силы действующие в этом поле, - потенциальными силами .
Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.
По формуле (14.3.5) получаем , т.е. dA = dU(x,y,z) и
где U - значение силовой функции в точке М. Отсюда
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.
То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как
Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.
В частности работа силы тяжести:
Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна
Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет
где - потенциальная энергия всей системы.
Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):
или окончательно:
При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.
Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю 
. (0,5)
Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с 
. (10,5)
Начнем с определения. Работа А силы F при перемещении х тела, к которому она приложена, определяется как скалярное произведение векторов F и х .
А= F ·х= Fxcosα . (2.9.1)
Где α – угол между направлениями силы и перемещения.
Сейчас нам пригодится выражение (1.6 а), которое получено при равноускоренном движении. Но вывод мы сделаем универсальный, который и называется теоремой о кинетической энергии. Итак, перепишем равенство (1.6 а)
a · x =(V 2 –V 0 2)/2.
Умножим обе части равенства на массу частицы, получим
Fx =m(V 2 –V 0 2)/2.
Окончательно
А= m V 2 /2 – m V 0 2 /2. (2.9.1)
Величину Е = m V 2 /2 называют кинетической энергией частицы.
Вы привыкли, что в геометрии теоремы имеют свою устную формулировку. Чтобы не отстать от этой традиции, представим теорему о кинетической энергии в виде текста.
Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.
Данная теорема носит универсальный характер, т. е. справедлива для любого вида движения. Однако точное её доказательство связано с применением интегрального исчисления. Поэтому мы его опускаем.
Рассмотрим пример движения тела в поле тяжести. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, соединяющей начальную и конечную точки, а определяется только разностью высот в начальном и конечном положениях:
А=mg(h 1 –h 2). (2.9.2)
Примем какую-нибудь точку поля тяжести за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силой тяжести при перемещении частицы в эту точку из другой произвольной точки Р , находящейся на высоте h . Эта работа равна mgh и называется потенциальной энергией Е п частицы в точке Р :
Е п = mgh (2.9.3)
Теперь преобразуем равенство (2.9.1), механическая теорема о кинетической энергии примет вид
А= m V 2 /2 – m V 0 2 /2= Е п1 – Е п2 . (2.9.4)
m V 2 /2+ Е п2 = m V 0 2 /2+ Е п1 .
В этом равенстве в левой части стоит сумма кинетической и потенциальной энергии в конечной точке траектории, а в правой – в начальной.
Эту сумму называют полной механической энергией. Будем обозначать ее Е .
Е = Е к + Е п.
Мы пришли к закону сохранения полной энергии: в замкнутой системе полная энергия сохраняется.
Однако следует сделать одно замечание. Пока мы рассматривали пример так называемых консервативных сил . Эти силы зависят только от положения в пространстве. А работа, совершаемая такими силами при перемещении тела из одного положения в другое, зависит только от этих двух положений и не зависит от пути. Работа, совершаемая консервативной силой, является механически обратимой, т. е. меняет свой знак при возврате тела в исходное положение. Сила тяжести является консервативной силой. В дальнейшем мы познакомимся с другими видами консервативных сил, например, с силой электростатического взаимодействия.
Но в природе бывают и неконсервативные силы . Например, сила трения скольжения. Чем больше путь частицы, тем большую работу совершает сила трения скольжения, действующая на эту частицу. Кроме того, работа силы трения скольжения всегда отрицательна, т. е. «вернуть» энергию такая сила не может.
Для замкнутых систем полная энергия, конечно, сохраняется. Но для большинства задач механики более важным является частный случай закона сохранения энергии, а именно закон сохранения полной механической энергии. Вот его формулировка.
Если на тело действуют только консервативные силы, то его полная механическая энергия, определяемая как сумма кинетической и потенциальной энергий, сохраняется .
В дальнейшем нам понадобятся ещё два важных равенства. Как всегда, вывод заменим простой демонстрацией частного случая поля тяжести. Но вид этих равенств будет справедлив для любых консервативных сил.
Приведем равенство (2.9.4) к виду
А= F ∆x = Е п1 – Е п2 = –( Е п.кон – Е п.нач)= – ∆U.
Здесь мы рассмотрели работу А при перемещении тела на расстояние ∆x . Величину ∆U, равную разности конечной и начальной потенциальной энергии, называют изменением потенциальной энергии. А полученное равенство заслуживает отдельной строчки и специального номера. Поспешим его присвоить ему:
А= – ∆U (2.9.5)
Отсюда же вытекает математическая связь между силой и потенциальной энергией:
F = – ∆U/∆x (2.9.6)
В общем случае, не связанном с полем тяжести, равенство (2.9.6) представляет собой простейшее дифференциальное уравнение
F = – dU / dx .
Последний пример рассмотрим без доказательства. Гравитационная сила описывается законом всемирного тяготения F (r )= GmM / r 2 и является консервативной. Выражение для потенциальной энергии гравитационного поля имеет вид:
U (r )= – GmM / r .
Автор : – Разберем простой случай. На тело массой m, находящееся на горизонтальной плоскости, действует в течение промежутка времени Т горизонтальная сила F . Трение отсутствует. Чему равна работа силы F ?
Студент : – За время Т тело переместится на расстояние S=а Т 2 /2, где а =F /m. Следовательно, искомая работа есть А =F S=F 2 T 2 /(2m).
Автор : Все правильно, если считать, что тело покоилось до того, как на него начала действовать сила. Несколько усложним задачу. Пусть до начала действия силы тело двигалось прямолинейно и равномерно с некоторой скоростью V 0 , сонаправленной с внешней силой. Чему теперь равна работа за время Т ?
Студент : – Для расчета перемещения возьму более общую формулу S= V 0 T + а Т 2 /2, для работы получаю А =F (V 0 T + а Т 2 /2). Сравнивая с предыдущим результатом, вижу, что одна и та же сила за одинаковые промежутки времени производит разную работу.
Тело массой m скользит вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения скольжения тела о плоскость k . На тело все время действует горизонтальная сила F . Чему равна работа этой силы при перемещении тела на расстояние S?
Студент : – Произведем расстановку сил и найдем их равнодействующую. На тело действует внешняя сила F, а также силы тяжести, реакции опоры и трения.
Студент : – Получается, что работа А= F Scos α и всё. Меня действительно подвела привычка каждый раз искать все силы, тем более что в задаче указана масса и коэффициент трения.
Студент : – Работу силы F я уже вычислил: А 1 = F S cos α. Работа силы тяжести есть А 2 =mgSsin α. Работа силы трения … отрицательна, т. к. векторы силы и перемещения противоположно направлены: А 3 = – kmgScos α. Работа силы реакции N равна нулю, т. к. сила и перемещение перпендикулярны. Правда, я не очень понимаю смысла отрицательной работы?
Автор : – Это означает, что работа данной силы уменьшает кинетическую энергию тела. Кстати. Давайте обсудим движение тела, изображенного на рис.2.9.1, с точки зрения закона сохранения энергии. Для начала найдите суммарную работу всех сил.
Студент : – А = А 1 + А 2 + А 3 = FScos α+ mgSsin α– kmgScos α.
По теореме о кинетической энергии разность кинетических энергий в конечном и начальном состояниях равна совершенной над телом работе:
Е к –Е н =А .
Студент : – Может быть, это были другие уравнения, не относящиеся к данной задаче?
Автор : – Но все уравнения должны давать одинаковый результат. Дело в том, что потенциальная энергия содержится в скрытом виде в выражении для полной работы. Действительно, вспомните А 2 =mgSsin α=mgh, где h – высота спуска тела. Получите, теперь из теоремы о кинетической энергии выражение закона сохранения энергии.
Студент : – Так как mgh=U н – U к, где U н и U к соответственно начальная и конечная потенциальные энергии тела, то имеем:
mV н 2 /2 + U н + А 1 + А 3 = mV к 2 /2+ U к.
Студент : – Это, по-моему, легко. Работа силы трения по модулю как раз и равна количеству теплоты Q . Поэтому Q = kmgScos α.
Студент : mV н 2 /2 + U н + А 1 – Q = mV к 2 /2+ U к.
Автор : – Теперь несколько обобщим определение работы. Дело в том, что соотношение (2.9.1) верно только для случая действия постоянной силы. Хотя есть немало случаев, когда сила сама зависит от перемещения частицы. Приведите пример.
Студент : – Первое, что приходит в голову, это растяжение пружины. По мере перемещения незакрепленного конца пружины сила, все увеличивается. Второй пример связан с маятником, который, как мы знаем, сложнее удержать при больших отклонениях от положения равновесия.
Автор : – Хорошо. Давайте остановимся на примере с пружиной. Сила упругости идеальной пружины описывается законом Гука, в соответствии с которым при сжатии (или растяжении) пружины на величину х возникает сила, противоположно направленная смещению, линейно зависящая от х . Запишем закон Гука в виде равенства:
F = – kx (2.9.2)
Здесь k – коэффициент жесткости пружины, x – величина деформации пружины. Изобразите график зависимости F (x ).
Студент : Мой чертеж представлен на рисунке.
Рис.2.9.2
Левая половина графика соответствует сжатию пружины, а правая – растяжению.
Автор : – Теперь вычислим работу силы F при перемещении от х =0 до х = S. Для этого существует общее правило. Если нам известна общая зависимость силы от смещения, то работа на участке от х 1 до х 2 есть площадь под кривой F (x ) на этом отрезке.
Студент : – Значит, работа силы упругости при перемещении тела от х =0 до х =S отрицательна, а модуль её равен площади прямоугольного треугольника: А = kS 2 /2.
А = kх 2 /2. (2.9.3)
Эта работа превращается в потенциальную энергию деформированной пружины.
История.
Резерфорд демонстрировал слушателям распад радия. Экран то светился, то темнел.
– Теперь вы видите, – сказал Резерфорд, – что ничего не видно. А почему ничего не видно, вы сейчас увидите.
Вопросы и задания
1. Перечислите ситуации, встречающиеся в повседневной жизни, в которых участвуют неконсервативные силы.
2. Вы медленно поднимаете книгу со стола на высокую полку. Перечислите силы, действующие на книгу, и определите, какие из них являются консервативными, а какие нет.
3. Результирующая сила, действующая на частицу, консервативна и увеличивает её кинетическую энергию на 300 Дж . Каково при этом изменение а) потенциальной энергии частицы, б) её полной энергии?
4. Имеет ли физический смысл следующее утверждение: использование шестов из гибкого пластика в прыжках в высоту привело к росту результатов благодаря тому, что большая его гибкость дает дополнительную упругую энергию, преобразуемую в потенциальную энергию поля тяжести?
5. Имеется наклонная плоскость, один конец которой поднят на высоту Н . Тело массой М скатывается (без начальной скорости) из верхней точки. Зависит ли скорость этого тела у основания наклонной плоскости от угла, который она составляет с горизонтом, если а) трение отсутствует, б) трение имеется?
6. Почему мы все же утомляемся, когда сначала взбираемся на гору, а потом спускаемся с нее? Ведь полная работа в поле тяжести равна нулю.
7. Этот пример ещё жестче. Представьте, что Вы держите гантелю на вытянутой руке. Не бойтесь, она не очень тяжелая. Но все же рука устает. А механической работы никакой нет, т. к. нет движения. Куда расходуется энергия Ваших мышц?
8. Пружина массой m покоится в вертикальном положении на столе. Сможет ли пружина, подпрыгнув, оторваться от стола, после того как Вы сожмете её, надавив сверху, а затем отпустите? Объясните свой ответ, используя закон сохранения энергии.
9. Что происходит с потенциальной энергией, которую имела вода в верхней части водопада, когда вода достигнет его основания? А что случится с кинетической и полной энергией?
10. Опытные туристы предпочитают перешагивать через упавшее бревно, а не, наступив на него, спрыгивать с противоположной стороны. Объясните явление.
11. Два человека находятся на разных платформах, которые движутся относительно друг друга со скоростью V. Они наблюдают за бревном, которое тянут по шероховатой горизонтальной поверхности. Совпадают ли полученные этими людьми значения: а) кинетической энергии бревна; б) полной работы, совершаемой над телом; в) механической энергии, перешедшей в тепловую из-за наличия трения? Не противоречит ли ответ на вопрос в) ответам на вопросы а) и б)?
12. Откуда берется кинетическая энергия автомобиля при равномерном его ускорении из состояния покоя? Как связать возрастание кинетической энергии с наличием силы трения между шинами и шоссе?
13. Зимой Земля приближается к Солнцу на кратчайшее расстояние. Когда потенциальная энергия Земли наибольшая?
14 Может ли полная механическая энергия быть отрицательной? Приведите примеры.
15. В какой точке величина сила наибольшая? Для каждой из обозначенных цифрами точек укажите, в каком направлении действует сила. Какая точка соответствует положению равновесия?
Задачи
16. Пуля пробивает закрепленную доску при минимальной скорости 200 м/с . С какой скоростью должна лететь пуля для того, чтобы пробить эту доску, подвешенную на длинной нити? Масса пули 15г , масса доски 90г , пуля попадает точно в центр доски перпендикулярно её поверхности.
17. Деревянный шар массой М =1 кг висит на шнуре так, что расстояние от точки подвеса шнура до центра шара равно L = 1 м . В шар попадает горизонтально летящая со скоростью V 1 =400 м/с пуля массой m = 10 г , которая пробивает шар точно по диаметру и вылетает из него со скоростью V 2 =230 м/с . Определите угол максимального отклонения подвеса от вертикали. Сопротивлением воздуха и временем пробивания шара пулей пренебречь.
18. На плоскости, наклоненной к горизонту под углом α, лежат два тела массой m . Коэффициент трения между телами и плоскостью k >tg α. Телам придают одинаковые встречные скорости V . При каком максимальном начальном расстоянии L между телами они столкнутся?
19. Тележка скатывается по гладким рельсам, образующим вертикальную петлю радиуса R . С какой минимальной высоты H min должна скатиться тележка для того, чтобы она не покинула рельсов по всей их длине? Каково будет движение тележки, если она скатывается с высоты h , меньшей H min ?
20. Определите силу, действующую на вертикальную стенку со стороны падающей гантели, в тот момент, когда ось гантели составляет угол с горизонтом. Гантель начинает свое движение из вертикального положения без начальной скорости. Масса каждого шарика гантели m.
21. На нити длиной 2h подвешен грузик массой m . На расстоянии h под точкой подвеса вбит гвоздь. Нить отклонили из положения равновесия на угол /2 и отпустили. На какую максимальную высоту поднимется грузик после прохождения положения равновесия?
22. Подставка массой M с полусферической выемкой радиуса R стоит на гладкой горизонтальной плоскости. Малое тело массой m кладут на край выемки и отпускают. Найти скорости тела и подставки, силу, действующую на тело в момент прохождения нижней точки
23. Груз массой m , подвешенный на пружине жесткости k , удерживается подставкой так, что пружина находится в недеформированном состоянии. Подставку внезапно убирают. Найти максимальное удлинение пружины и максимальную скорость груза.
24. От груза, подвешенного на пружине жесткости k , отрывается часть массой m . На какую высоту поднимется после этого оставшаяся часть груза?
25. C какой силой надо надавить на верхний груз массой m , чтобы нижний груз массой M , соединенный с верхним пружиной жесткости k , оторвался от пола после прекращения действия силы?
26. На горизонтальной плоскости лежат два тела массами m 1 и m 2 , соединённых недеформированной пружиной. Найти, какую наименьшую постоянную силу нужно приложить к левому телу, чтобы сдвинулось правое. Коэффициент трения тел о плоскость .
Теорема о кинетической энергии точки в дифференциальной форме
Умножая скалярно обе части уравнения движения материальной точки на элементарное перемещение точки получим
или, так как , то
Скалярная величина или половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией точки или живой силой точки.
Последнее равенство составляет содержание теоремы о кинетической энергии точки в дифференциальной форме, которая гласит: дифференциал кинетической энергии точки равен элеменарной работе, действующей на точку силы.
Физический смысл теоремы о кинетической энергии заключается в том, что работа, производимая действующей на точку силой, накапливается в ней как кинетическая энергия движения.
Теорема о кинетической энергии точки в интегральной форме
Пусть точка переместилась из положения Л в положение В, пройдя по своей траектории конечную дугу АВ (рис. 113). Интегрируя в пределах от Л до Б равенство:
где соответственно скорости точки в положениях А и В.
Последнее равенство составляет содержание теоремы о кинетической энергии точки в интегральной форме, которая гласит: изменение кинетической энергии точки за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за то же время действующей на нее силой.
Полученная теорема справедлива при движении точки под действием любой силы. Однако, как указывалось, для вычисления полной работы силы нужно в общем случае знать уравнения движения точки.
Поэтому теорема о кинетической энергии, вообще говоря, не дает первого интеграла уравнений движения.
Интеграл энергии
Теорема о кинетической энергии дает первый интеграл урав нений движения точки, если полная работа силы может быть определена, не прибегая к уравнениям движения. Последнее, возможно, как ранее указывалось, если сила, действующая на точку, принадлежит к силовому полю. В этом случае достаточно знать только траекторию точки. Пусть траектория точки будет некоторая кривая, тогда координаты ее точек можно выразить через дугу траектории, и, следовательно, сила зависящая от координат точки, может быть выражена через
и теорема о кинетической энергии дает первый интеграл вида
где - дуги траектории, соответствующие точкам А и - проекция силы на касательную к траектории (рис. 113).
Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии точки
Особый интерес представляет движение точки в потенциальном поле, так как теорема о кинетической энергии дает при этом весьма важный интеграл уравнений движения.
В потенциальном поле полная работа силы равна разности значений силовой функции в конце и в начале пути:
Следовательно, теорема о кинетической энергии в этом случае записывается в виде:
Силовая функция, взятая с обратным знаком называется потенциальной энергией точки и обозначается буквой П:
Потенциальная энергия, так же как и силовая функция, задается с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевой поверхности уровня. Сумма кинетической и потенциальной энергии точки называется полной механической энергией точки.
Теорема о кинетической энергии точки, если сила принадлежит к потенциальному полю, записывается в виде:
где - значения потенциальной энергии, соответствующие точкам А и В. Полученное уравнение составляет содержание закона сохранения механической энергии для точки, который гласит: при движении в потенциальном поле сумма кинетической и потенциальной энергии точки остается постоянной.
Так как закон сохранения механической энергии справедлив только для сил, принадлежащих потенциальным полям, то силы такого поля называются консервативными (от латинского глагола conservare - сохранять), чем подчеркивается выполнение в этом случае сформулированного закона. Заметим, что если понятие кинетической энергии имеет в своем определении известные физические основания, то понятие потенциальной энергии этого лишено. Понятие потенциальной энергии в известном смысле является фиктивной величиной, которая определяется так, что изменения ее значения в точности соответствуют изменениям кинетической энергии. Введение этой величины, связанной с движением, помогает описанию движения и благодаря этому играет существенную роль в так называемом энергетическом описании движения, разрабатываемый аналитической механикой. В последнем и заключается смысл введения этой величины.